Jak się ustrzec fałszywego stwierdzenia nielosowości struktury przestrzennej drzewostanu, LEŚNICTWO
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Leœne Prace Badawcze
(
Forest Research Papers
)
, 2009, Vol. 70 (1): 59-67.
Leszek Bolibok
1
Metoda Monte Carlo w badaniu istotnoœci wyników funkcji Ripleya,
czyli jak siê ustrzec fa³szywego stwierdzenia nielosowoœci
struktury przestrzennej drzewostanu
The use of Monte Carlo method in significance tests of Ripley’s function outcome
or how to avoid false discovery of nonrandom spatial structure of tree stand
Abstrakt
. Hypothesis that investigated pattern of tree distribution described by estimator of Ripley’s
K
(
t
)isnot
random is often tested by means of Monte Carlo method. The method involves generation of rather big number of
random tree stands with stand area and number of trees identical as in investigated tree stand. For each random stand
estimator of Ripley’s function is calculated. The main goal of this procedure is to define extent of estimator variability
in the case of random placement of trees in investigated stand. For each spatial scale t the lowest and the highest values
of estimator are recorded. Using extreme values of estimator one can draw two lines (lower and upper) determining
maximum estimator variability across spatial scales. They are called envelops. Unfortunately sometimes these lines
are interpreted as “confidence bands” which is obvious mistake. The case that estimator calculated for investigated tree
stand crosses the upper or lower envelop is wrongly interpreted as a proof for non-randomness of investigated pattern.
This assumption may be partially justified when only one previously determined spatial scale (eg. 4 m) is considered. In
case that many spatial scales are investigated simultaneously (eg. from 0 to 10 m) this assumption can lead very easily
to false discovery of non-randomnes of investigated pattern. The interpretation of investigated pattern based only on
visual comparison of estimator with envelopes can be used only in explanatory analysis. Instead the formal rank test
based on carefully selected statistic should be carried out.
Key words
: tree spatial point pattern, spatial analysis, Ripley’s
K
(
t
) function, non random pattern.
1. Wstêp
rozmieszczonych na podmok³ym terenie kopcach)
wskaŸnik Clarka-Evansa prawdopodobnie przyjmie
wartoœæ wskazuj¹c¹ na skupiskowoœæ rozmieszczenia
drzew, a fakt równomiernoœci rozmieszczenia kêp
zostanie zignorowany. Lepiej sformu³owane pytanie
powinno brzmieæ: „jak kszta³tuje siê sposób
rozmieszczenia drzew w badanym drzewostanie w
ró¿nych skalach przestrzennych?”. WskaŸnik Clarka-
Evansa udziela niepe³nej i nieprecyzyjnej odpowiedzi na
takie pytanie: wprawdzie stwierdza on skupiskowoϾ
rozmieszczenia drzew, ale nie wiadomo dok³adnie, w
jakiej skali przestrzennej ona wystêpuje (najczêœciej
zbli¿onej do œredniej odleg³oœci pomiêdzy badanymi
obiektami).
Struktura przestrzenna drzewostanu jest bardzo
z³o¿onym zjawiskiem, trudnym do zwiêz³ego opisania.
Pocz¹tkowo wskaŸniki opisuj¹ce strukturê przestrzenn¹
populacji roœlinnych by³y tak stworzone, aby dostarczyæ
odpowiedzi na pytanie: „czy osobniki w drzewostanie s¹
rozmieszczone losowo czy nie losowo (skupiskowo
b¹dŸ równomiernie)”. Na takie pytanie mo¿e udzieliæ
odpowiedzi wskaŸnik Clarka-Evansa (1954). Trudno
jednak na Ÿle postawione pytanie uzyskaæ wartoœciow¹
odpowiedŸ. W przypadku, gdy badany drzewostan
sk³ada siê z równomiernie rozmieszczonych skupisk
drzew (np. kêp olszy odroœlowej na równomiernie
1
Szko³a G³ówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydzia³ Leœny, Katedra Hodowli Lasu, ul. Nowoursynowska 159,
02-776 Warszawa, Tel. +48 225938106, e-mail leszek.bolibok@wl.sggw.pl
60
L. Bolibok / Leœne Prace Badawcze, 2009, Vol. 70 (1): 59–67.
Funkcja
K
(
t
) Ripleya (1977) jest jednym z bardziej
popularnych narzêdzi badania struktury przestrzennej
drzewostanu. Czêsto podkreœlan¹ zalet¹ funkcji Ripleya
jest mo¿liwoœæ analizowania struktury przestrzennej
drzewostanu w wielu skalach przestrzennych jednoczeœ-
nie. Wykorzystanie tej zalety wymaga jednak skrupu-
latnego podejœcia do testowania statystycznej istotnoœci
otrzymanych wyników. Pochopne wyci¹ganie wnios-
ków dotycz¹cych struktury przestrzennej badanego
drzewostanu jedynie na podstawie przebiegu estymatora
funkcji Ripleya wzglêdem tzw. graficznej reprezentacji
przedzia³ów ufnoœci mo¿e prowadziæ do fa³szywych
odkryæ. Celem tego artyku³u jest omówienie metody
Monte Carlo w testowaniu wyników funkcji Ripleya ze
szczególnym uwzglêdnieniem testowania hipotezy o
nielosowym rozmieszczeniu drzew w przyjêtym za-
kresie skal przestrzennych.
procesów zbyt z³o¿onych, aby mo¿na by³o przewidzieæ
ich wyniki za pomoc¹ podejœcia analitycznego.
Uproszczony przyk³ad stosowania metody Monte
Carlo do okreœlania pola powierzchni figur geometrycz-
nych przedstawiono na rycinie 1. Ustalenie pola po-
wierzchni ko³a wpisanego w kwadrat o boku równym
1 m (ryc. 1a) mo¿na osi¹gn¹æ stosuj¹c podejœcie
analityczne za pomoc¹ powszechnie znanych wzorów
(0,7853981 m
2
). Podejœcie do tego problemu w duchu
metody Monte Carlo polega³oby na losowym rozmiesz-
czeniu pewnej liczby punktów (w przyk³adzie jest ich
20) w obrêbie wspomnianego kwadratu. W kolejnym
kroku nale¿a³oby zliczyæ punkty, które znalaz³y siê w
obrêbie ko³a (15). Proporcja pomiêdzy liczb¹ punków
w kole a ogóln¹ liczb¹ punktów (15:20) jest oszaco-
waniem proporcji pomiêdzy powierzchnia ko³a i kwa-
dratu opisanego na tym kole, a st¹d ju¿ ³atwo o oszaco-
wanie powierzchni ko³a (15/20×1 m
2
=0.75 m
2
).
W przypadku z³o¿onych wieloboków nieforemnych
(ryc. 1b) podejœcie analityczne bywa uci¹¿liwe. Gdy
poszukiwana jest tylko przybli¿ona powierzchnia,
metoda Monte Carlo okazuje siê bardzo u¿yteczna. Jak
widaæ z porównania rycin 1b i 1c, w przypadku losowa-
nia rozmieszczenia, ka¿de losowanie mo¿e daæ inne
oszacowanie (odpowiednio 9/20 i 12/20). Dok³adnoœæ
2. Metoda Monte Carlo
Metoda Monte Carlo
1
to klasa algorytmów oblicze-
niowych wykorzystuj¹cych do uzyskania wyników
powtarzalne próby losowe. Metoda ta znajduje zastoso-
wanie w wielu dziedzinach, g³ównie do modelowania
Rycina 1. Wykorzystanie metody Monte
Carlo do okreœlania powierzchni figur
p³askich: ko³a (a) i wieloboków
nieforemnych (b, c, d)
Figure 1. The use of Monte Carlo method for
area estimation of plane figures: circle (a)
and non regular polygons (b, c, d)
1
Wa¿n¹ rolê w powstaniu tej metody odegra³ polski matematyk, pochodzenia ¿ydowskiego, Stanis³aw Ulam (w 1943 przyj¹³
obywatelstwo amerykañskie). Jedno z pierwszych zastosowañ tej metody mia³o miejsce w okresie prac nad bomb¹ wodorow¹.
Nazwa tej metody, w której badacz zdaje siê na wyniki losowania, ma zwi¹zek z wujem Ulama, który po¿ycza³ pieni¹dze od
krewnych z powodu wizyt w Monte Carlo (Metropolis 1987).
L. Bolibok / Leœne Prace Badawcze, 2009, Vol. 70 (1): 59–67.
61
oszacowania zale¿y od liczby sprawdzeñ i w mniejszym
stopniu – od jakoœci u¿ytego generatora liczb pseudo-
losowych.
Na potrzeby dalszej czêœci artyku³u podano przyk³ad
zastosowania metody Monte Carlo do porównywania
powierzchni obiektów. Na rycinie 1d przedstawiono
pomniejszon¹ wersjê badanego wieloboku. Podczas
oszacowania stwierdzono piêæ trafieñ. Choæ ró¿nica
wielkoœci jest widoczna go³ym okiem, mo¿na j¹ te¿
próbowaæ udowodniæ statystyczne za pomoc¹ metody
Monte Carlo. Po dokonaniu 100 oszacowañ powierzchni
liœcia z ryciny 1c mo¿na uzyskaæ rozk³ad czêstoœci
trafieñ oraz okreœliæ œredni¹ liczbê trafieñ. O ile rozk³ad
ten bêdzie rozk³adem normalnym, stosunkowo prosto
mo¿na okreœliæ prawdopodobieñstwo napotkania 5 tra-
fieñ na liœciu z ryciny 1c. Je¿eli wyniesie ono 0,03, to
przy poziomie istotnoœci
()=π
2
(1)
Teoretyczny przebieg funkcji Ripleya ma charakter
paraboliczny. Jej wartoœæ roœnie wraz ze wzrostem skali
przestrzennej
t
(wraz ze wzrostem promienia anali-
zowanego otoczenia obiektów). Ze wzglêdów praktycz-
nych (stabilizacja zmiennoœci estymatora funkcji, ³at-
woϾ wizualnej oceny przebiegu estymatora) bardzo
czêsto badacze poddaj¹ funkcjê transformacji nastêpu-
j¹cym wzorem:
Lt
()
(
= −
π
Kt
t
(2)
=0,05 mo¿na powiedzieæ, ¿e
powierzchnia liœcia z ryciny 1d ró¿ni siê istotnie od
powierzchni liœcia z ryciny 1c.
t
2
,
a wartoϾ funkcji
L
(
t
) mo¿e byæ inna ni¿ 0. Wartoœæ
funkcji
K
(
t
) lub
L
(
t
) dla wybranego rozmieszczenia mo¿-
na wyliczyæ za pomoc¹ odpowiednich wzorów. Tak jak
œrednia pierœnica drzew na powierzchni próbnej jest
estymatorem œredniej pierœnicy drzew w drzewostanie,
tak wyliczona dla rejonu badañ wartoœæ funkcji jest
estymatorem wartoœci funkcji Ripleya
K
(
t
) dla teore-
tycznego rozmieszczenia obejmuj¹cego ca³¹ p³aszczy-
znê i jest oznaczana
3. Estymator funkcji Ripleya
Stosowanie funkcji Ripleya do analizy struktury
przestrzennej drzewostanów wymaga za³o¿enia, ¿e
po³o¿enie drzewa w drzewostanie mo¿e byæ reprezento-
wane tylko przez jeden punkt. Decyzja, jaki punkt bêdzie
reprezentowa³ po³o¿enie drzewa (np. czy œrodek
podstawy pnia, czy œrodek przekroju pierœnicowego),
mo¿e mieæ du¿y wp³yw na wyniki analizy (por. Laessle
1965). Po wykonaniu mapy po³o¿enia drzew na po-
wierzchni próbnej badacz uzyskuje zbiór wspó³rzêdnych
prostok¹tnych, reprezentuj¹cych po³o¿enie drzew w
okreœlonym fragmencie p³aszczyzny (rejonie badañ),
dalej nazywany rozmieszczeniem. Punkty reprezentu-
j¹ce po³o¿enie drzew bêd¹ dalej okreœlane jako obiekty.
Autorzy stosuj¹cy w swoich badaniach funkcjê
Ripleya zazwyczaj zaczynaj¹ od zbadania hipotezy
o losowym sposobie rozmieszczenia drzew w badanym
drzewostanie. Czyni¹ to poprzez porównanie wartoœci
funkcji Ripleya K(t) dla badanego rozmieszczenia
z wartoœci¹, jak¹ przyjê³aby funkcja Ripleya w roz-
mieszczeniu losowym w podobnym fragmencie
p³aszczyzny z tak¹ sam¹ liczb¹ obiektów jak w badanym
rozmieszczeniu.
Funkcja Ripleya
K
(
t
) jest jedn¹ z miar opisuj¹cych
rozmieszczenie obiektów. Iloczyn
Lt
.
W przypadku rejonu badañ o powierzchni |
A
| liczba
uporz¹dkowanych par wyra¿a siê nastêpuj¹cym wzorem
(Diggle 1983):
λ
2
Kt
lub – po transformacji –
()
()
1
AK t w I u
ij
()
=
∑
≠
∑
−
( )
(3)
ij
ij
gdzie:
u
ij
– dystans miêdzy obiektami
i
oraz
j
gdy
gdy
w
ij
– wspó³czynnik korekcyjny stosowany do ograni-
czenia efektu brzegowego.
Prawa strona powy¿szego równania opisuje estyma-
tor liczby uporz¹dkowanych par obiektów oddalonych
od siebie nie wiêcej ni¿
t
w rejonie badañ. Przekszta³-
cenie wzoru 3 pozwala wyprowadziæ wzór na estymator
funkcji Ripleya oznaczany jako
=
⎧
⎨
⎩
1
0
ut
ut
ij
≤
>
t
ij
Kt
. Poniewa¿ nie jest
()
procesu statystycznego,
który wygenerowa³ badane rozmieszczenie, mo¿liwe
jest jedynie skonstruowanie estymatora obci¹¿onego.
Przy dodatkowym za³o¿eniu o ergodycznoœci badanego
procesu (Cressie 1993, str: 57, 629) jako estymator
zagêszczenia mo¿e s³u¿yæ stosunek iloœci obiektów na
powierzchni badawczej
N
do wielkoœci tej powierzchni
|
A
|. Wówczas modyfikacja wzoru 3 pozwala obliczyæ
obci¹¿ony estymator funkcji Ripleya:
K
(
t
) równy jest
liczbie uporz¹dkowanych par obiektów oddalonych od
siebie nie bardziej ni¿
t
w badanym rozmieszczeniu
o zagêszczeniu obiektów na jednostkê powierzchni
równym
. Dla rozmieszczenia ca³kowicie losowego
zajmuj¹cego nieskoñczon¹ p³aszczyznê wartoœæ funkcji
Ripleya
K
(
t
) da siê przedstawiæ nastêpuj¹cym wzorem
(Ripley 1977):
Kt t
Wówczas dla ka¿dej skali przestrzennej
t
wartoϾ
funkcji
L
(
t
) wynosi 0. Natomiast dla rozmieszczenia
idealnie losowego zajmuj¹cego tylko czêœæ p³aszczyzny
wartoϾ funkcji Ripleya
K
(
t
) mo¿e siê ró¿niæ od
,
,
I
znana wartoϾ parametru
62
L. Bolibok / Leœne Prace Badawcze, 2009, Vol. 70 (1): 59–67.
wIu
A
1
()
A
N
5. Sta³e przedzia³y ufnoœci
()
=
∑
∑
ij
ij
=
∑
∑
wIu
1
()
(4)
2
2
ij
ij
λ
ij
ij
Precyzyjne okreœlenie zmiennoœci wspomnianych
estymatorów nie jest ³atwe. Czasami wykorzystywany
jest podany przez Ripleya (1979) sposób polegaj¹cy na
zastosowaniu wzorów na tak zwane sta³e przedzia³y
ufnoœci (wzór5i6).
±146,
AN
Estymator wartoœci funkcji Ripleya przedstawiony
wzorem 4 jest bardzo czêsto wykorzystywany w bada-
niach struktury przestrzennej drzewostanów. Diggle
(1983) podkreœla, ¿e mo¿e byæ on stosowany do analizy
rozmieszczeñ stacjonarnych (nie wykazuj¹cych znacz-
nych kierunkowych zmian lokalnego zagêszczenia
obiektów) oraz izotropicznych (gdy œrednia odleg³oœæ
obiektów w kierunku pó³noc-po³udnie nie ró¿ni siê zbyt-
nio od œredniej odleg³oœci miêdzy obiektami w kierunku
wschód-zachód). Dok³adniejsze wyjaœnienie tych
za³o¿eñ wychodzi poza zakres niniejszego artyku³u i zo-
sta³o omówione gdzie indziej (np. Bolibok 2008a, b).
Obliczenie transformowanej wartoœci estymatora
odbywa siê analogicznie jak we wzorze 2.
(5)
Lt
, dla rozmieszczenia losowego na powierzchni ba-
dawczej o wielkoœci |
A
| i liczbie obiektów równej
N
.
Wzory te maj¹ charakter empiryczny, zosta³y ustalone
na drodze symulacji dla rozmieszczeñ zawieraj¹cych
odpowiednio 25 i 100 obiektów na powierzchni próbnej
o boku równym 1 i s¹ w³aœciwe dla
t
nie wiêkszego ni¿
odpowiednio 0,25 i 0,125. W zwi¹zku z tym ich przy-
datnoϾ jest ograniczona.
Niektóre publikacje podaj¹ analityczne metody kon-
struowania sta³ych przedzia³ów ufnoœci (np. Saunders et
Funk 1977, za Ripley 1979). Praktyczne zastosowanie
wspomnianych metod ma jednak liczne ograniczenia.
Przyk³adowo metoda proponowana przez Ripleya
(1981, za Tomppo 1986, str. 26) jest przydatna tylko dla
kolistych powierzchni próbnych dla skali przestrzennej
mniejszej ni¿
07
3
4. Graficzna reprezentacja
przedzia³ów ufnoœci
Estymator funkcji Ripleya jest zmienn¹ losow¹ o
pewnej wariancji, która sprawia, ¿e przebieg funkcji
ustalony dla fragmentów (o tym samym kszta³cie i
powierzchni) po³o¿onych w ró¿nych czêœciach roz-
mieszczenia losowego zajmuj¹cego ca³¹ p³aszczyznê
bêdzie ró¿ny. Z tego powodu przed rozstrzygniêciem,
czy obserwowany w badanym rozmieszczeniu przebieg
estymatora ró¿ni siê od przebiegu w rozmieszczeniach
losowych, konieczne jest okreœlenie potencjalnej zmien-
noœci estymatora. W tym celu na wykresie przedsta-
wiaj¹cym przebieg estymatora lub zaznaczane s¹ dwie
linie, które w przypadku losowego rozmieszczenia
drzew przebiegaj¹ jedna poni¿ej, a druga powy¿ej krzy-
wej estymatora. Symbolizuj¹ one przewidywany dla da-
nego
,
r
, gdzie
r
to promieñ powierzchni,
N
a
N
to liczba obiektów. Wzór opracowany przez Stoyana
i in. (1987, str. 58) pozwala ustaliæ sta³e przedzia³y
ufnoœci tylko dla jednej wczeœniej ustalonej wartoœci
t
.
zakres zmiennoœci estymatora i okreœlane s¹ mia-
nem graficznej reprezentacji przedzia³ów ufnoœci.
Bardzo czêsto autorzy stosuj¹cy w badaniach ekolo-
gicznych funkcjê Ripleya ograniczaj¹ analizê wyników
tylko do sprawdzenia, czy krzywa estymatora przecina
liniê reprezentuj¹c¹ przedzia³ ufnoœci, co jest interpre-
towane jako dowód na nielosowy sposób rozmiesz-
czenia obiektów. Przypomina to wzrokowe porówny-
wanie dwóch histogramów przedstawiaj¹cych rozk³ady
liczebnoœci. Nawet w przypadku, gdy wzrokowa analiza
nie pozostawia cienia w¹tpliwoœci co do ca³kowitej
odmiennoœci badanych rozk³adów, tylko zastosowanie
odpowiedniego testu pozwala na formalne odrzucenie
hipotezy zerowej o zgodnoœci badanych rozk³adów.
Podobnie rzecz siê ma w przypadku funkcji Ripleya.
6. Zastosowanie metody Monte Carlo
do okreœlenia zmiennoœci estymatora
funkcji Ripleya
Uzyskanie metod¹ analityczn¹ odpowiedzi na py-
tanie, jak kszta³towa³aby siê zmiennoœæ estymatora
funkcji Ripleya, gdyby w rejonie badañ obiekty by³y
rozmieszczone losowo, jest co najmniej k³opotliwe.
Z tego powodu do odpowiedzi na to pytanie rutynowo
stosowana jest metoda Monte Carlo. Wygenerowanie
rozmieszczenia losowego w rejonie badañ zawieraj¹ce-
go tak¹ sam¹ liczbê obiektów jak badane rozmieszczenie
jest banalnie proste (por. Stoyan i in. 1987, str. 38-40.).
Aby poznaæ zmiennoœæ estymatora, generuje siê wiêksz¹
liczbê rozmieszczeñ losowych, rejestruje siê obliczone
dla ka¿dego z nich wartoœci estymatora i w ten sposób
otrzymuje siê oszacowanie zmiennoœci estymatora.
Omawiaj¹c stosowanie metody Monte Carlo do
okreœlania pola powierzchni figur geometrycznych
−
Kt
−
≠
≠
±168,
AN
(6)
Pozwalaj¹ one oszacowaæ zakres, w którym obser-
wuje siê odpowiednio 95% i 99% wartoœci estymatora
()
L. Bolibok / Leœne Prace Badawcze, 2009, Vol. 70 (1): 59–67.
63
(ryc. 1), wspomniano o mo¿liwoœci porównywania
wielkoœci powierzchni wieloboków nieforemnych na
podstawie liczby trafieñ. Dok³adnie rzecz ujmuj¹c
zaproponowana metoda porównania wymaga³a za³o¿e-
nia, ¿e rozk³ad liczby trafieñ jest rozk³adem normalnym.
Zmiennoœæ estymatora funkcji Ripleya jest ma³o
poznana i nie mo¿na zak³adaæ, ¿e rozk³ad odchyleñ
wartoœci estymatora od wartoœci œredniej bêdzie zgodny
z rozk³adem normalnym. Z tego powodu wykorzystanie
metody Monte Carlo do testowania hipotezy zerowej
(H
0
), ¿e badane rozmieszczenie obiektów na powierz-
chni badawczej nie ró¿ni siê od rozmieszczenia
losowego, wymaga zastosowania testu rang (Besag i
Diggle 1977). Polega on na obliczeniu wartoœci wybra-
nej przez badacza statystyki
U
dla pewnej liczby
n
roz-
mieszczeñ obejmuj¹cych zarówno badane rozmieszcze-
nie
U
1
, jak i okreœlon¹ liczbê
s
=
n
-1 rozmieszczeñ loso-
wych
U
2
...
U
n
, czyli realizacji jednorodnego procesu
Poissona w granicach rejonu badañ, przy
8. Nieostroœæ przedzia³ów ufnoœci
identycznym
jak w badanym rozmieszczeniu. Nastêpnie wartoœci tej
statystyki szeregowane s¹ w kolejnoœci rosn¹cej.
Prawdopodobieñstwo, ¿e przez przypadek wartoœæ
U
1
bêdzie najmniejsza ze wszystkich statystyk
U
2
...
U
n
, jest
takie samo jak prawdopodobieñstwo, ¿e bêdzie ona
najwiêksza, i wynosi
p
=
n
-1
(Diggle 1983, str. 12).
Marriott (1979) zauwa¿y³ istnienie zjawiska okreœ-
lanego jako nieostroœæ przedzia³ów ufnoœci ustalanych
za pomoc¹ metody Monte Carlo. Przejawia siê ona
miêdzy innymi tym, ¿e za ka¿dym razem, gdy zostanie
wygenerowane
s
=99 rozmieszczeñ losowych, po³o¿enie
punktów symbolizuj¹cych przedzia³y ufnoœci mo¿e byæ
trochê inne (por ryc. 2b, 2c i 2d). Je¿eli dla konkretnej
wartoœci t zaobserwowano, ¿e krzywa estymatora z
badanego rozmieszczenia znajduje siê lekko poza
przedzia³em ufnoœci (ryc. 2b), to po innej serii symulacji
mo¿e znajdowaæ siê wewn¹trz przedzia³ów ufnoœci (ryc.
2d). Jest to zjawisko normalne i powinno sk³aniaæ do
ostro¿noœci w formu³owaniu twierdzeñ o istotnoœci
ró¿nicy miêdzy badanym rozmieszczeniem a rozmiesz-
czeniem losowym tylko na podstawie analizy przebiegu
krzywej estymatora wzglêdem tak rozumianych prze-
dzia³ów ufnoœci. W zwi¹zku z t¹ sytuacj¹ Marriott
(1979) zaproponowa³ modyfikacjê testu. Polega ona
na tym, ¿e w uporz¹dkowanym szeregu wartoœci
statystyki
U
obserwowany jest tzw. obszar krytyczny
o szerokoœci
m
. Je¿eli wartoœæ
U
1
znajdzie siê wœród
m
najwiêkszych wartoœci statystyki
U
, to przy poziomie
istotnoœci α=
m
n
mo¿emy odrzuciæ H
0
.
Symulacje przeprowadzone przez Marriotta wska-
zuj¹, ¿e przyjêcie
m
=5 (Diggle 1983) jest ca³kowicie
wystarczaj¹ce, a wiêc dla
s
=99 osi¹gany jest poziom
istotnoœci α=
m
n
7. Test rang a przedzia³y ufnoœci
Test rang w wersji graficznej mo¿na wykonaæ
nastêpuj¹co. Dla konkretnej skali przestrzennej
t
oblicza
siê wartoœæ estymatora funkcji Ripleya dla 99
wygenerowanych rozmieszczeñ losowych. Wartoœci te
s¹ sortowane i najwiêksz¹ z nich oraz najmniejsz¹ zazna-
cza siê punktowo w uk³adzie wspó³rzêdnych, w którym
oœ rzêdnych odpowiada skali przestrzennej
t
,aoœ
odciêtych – wartoœciom estymatora (ryc. 2a). Je¿eli
punkt reprezentuj¹cy na wykresie wartoœæ estymatora
funkcji Ripleya dla badanego rozmieszczenia w danej
skali przestrzennej
t
(np. 4 m, ryc. 2b) znajdzie siê
poni¿ej lub powy¿ej wspomnianych punktów, bêdzie to
symbolizowaæ zajœcie zdarzenia o prawdopodobieñ-
stwie 100
-1
. Przy odrzuceniu hipotezy zerowej o zgod-
noœci badanego rozmieszczenia z rozmieszczeniem
losowym w skali przestrzennej
t
oznacza to, ¿e szansa na
pope³nienie b³êdu statystycznego pierwszego rodzaju
p
jest równa lub mniejsza od 0,01. Na tym etapie wywodu
ekstremalne wartoœci estymatora obliczone dla 99
rozmieszczeñ losowych i naniesione na wykres dla
ka¿dej analizowanej skali przestrzennej mo¿na by uznaæ
za graficzne przedstawienie przedzia³ów ufnoœci dla
poziomu istotnoœci
5
199
5%.
Praca Marriotta wykaza³a, ¿e omawiane graficzne
przedstawienie przedzia³ów ufnoœci (por. ryc. 2 a-d) nie
mo¿e byæ uznane za reprezentacjê poziomu ufnoœci
99%.
Niestety, tak konstruowane przedzia³y ufnoœci (ryc.
2a-d) nie mog¹ s³u¿yæ za reprezentacjê równie¿ 95%
poziomu ufnoœci. Je¿eli wartoœæ badanej statystyki
U
1
dla wybranej skali przestrzennej
t
po uszeregowaniu
zajê³aby 4 miejsce wœród najwiêkszych wartoœci statys-
tyki
U
, to po uwzglêdnieniu poprawki Marriotta mo¿na
by odrzuciæ H
0
. Jednak¿e w tym przypadku punkt
reprezentuj¹cy wartoœæ estymatora obliczon¹ dla bada-
nego rozmieszczenia, dla skali przestrzennej
t
=4 m nie
le¿y poza przedzia³ami ufnoœci zdefiniowanymi przez
max
()
=
+
=
(ryc. 2d). Analiza graficzna
na podstawie tak zdefiniowanych przedzia³ów ufnoœci
mog³aby prowadziæ do pope³nienia b³êdu statystycz-
nego drugiego rodzaju i uznania rozmieszczenia
nielosowego (przy
Lt
29
=5%) za losowe. Z tego powodu
niektórzy autorzy staraj¹ siê skonstruowaæ graficzn¹
reprezentacjê przedzia³ów ufnoœci tak, aby nie by³y one
zbyt konserwatywne. Jedn¹ z metod ograniczenia mo¿li-
woœci pope³nienia b³êdu II rodzaju jest odrzucenie
=1%. Z przyczyn formalnych nie
jest to jednak mo¿liwe.
i min
()
Lt
29
[ Pobierz całość w formacie PDF ]