Jaskólski - Notatki do wykładu algebry, Podręczniki PL, Ksiązki i artykuły po polsku
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Notatki do wykładu z algebry
wykłady 1-28 2005
Zbigniew Jaskólski
1
Instytut Fizyki Teoretycznej
Uniwersytet Wrocławski
1
e-mail: jask@ift.uni.wroc.pl
1
Spis tre±ci
1 Elementy logiki formalnej 4
1.1 Zdania i operacje logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Tautologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Kwantyfikatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Elementy teorii mnogo±ci 11
2.1 Zbiory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Relacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Zasada indukcji matematycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Grupy 32
3.1 Działanie w zbiorze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Grupa symetryczna, permutacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Dzielnik normalny i grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Homomorfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Ciała 62
4.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Rozwi¡zywanie równa« i rozszerzanie ciała liczb rzeczywistych. . . . . . 64
4.3 Ciało liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 Reprezentacje liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Wielomiany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Macierze i wyznaczniki 87
5.1 Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Wyznaczniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Własno±ci wyznacznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Twierdzenie Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Przestrzenie liniowe 118
6.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 Podprzestrzenie liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Wektory liniowo niezale»ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4 Baza i wymiar przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.5 Przekrój i suma podprzestrzeni, suma prosta. . . . . . . . . . . . . . . 135
6.6 Przestrze« ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2
7 Układy równa« liniowych 143
7.1 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 Rz¡d macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3 Rozwi¡zywanie układów równa« liniowych przy pomocy wzorów Cramera154
7.4 Metoda eliminacji Gaussa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8 Przekształcenia liniowe. 176
8.1 Przekształcenia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2 Izomorfizmy przestrzeni liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3 Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.4 Zmiana bazy, macierz przej±cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5 Automorfizmy i macierze nieosobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9 Struktura przekształce« liniowych 200
9.1 Podprzestrzenie niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.2 Wektory i warto±ci własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.3 Diagonalizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10 Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe 225
10.1 Formy liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.2 Formy dwuliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.3 Formy kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.4 Formy kwadratowe na przestrzeniach rzeczywistych . . . . . . . . . . . 248
11 Przestrzenie liniowe z iloczynem skalarnym 254
11.1 Przestrzenie euklidesowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.2 Przekształcenia ortogonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.3 Przekształcenia samosprz¦»one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3
Wykład 1.
08.03.2005
1 Elementy logiki formalnej
1.1 Zdania i operacje logiczne
W ka»dej teorii matematycznej wyst¦puje zespół
poj¦¢ pierwotnych
,
przy pomocy których mo»na ±ci±le sformułowa¢ wszystkie inne poj¦cia,
aksjomaty i twierdzenia. Poj¦cia pierwotne nie daj¡ si¦ ±ci±le zdefiniowa¢
(wymagałoby to innych, jeszcze bardziej podstawowych poj¦¢), poprze-
stajemy wi¦c na ich intuicyjnym okre±leniu.
W przypadku logiki formalnej, któr¡ zajmiemy si¦ w tym rozdziale
poj¦ciami pierwotnymi s¡ zdania i operacje logiczne.
Zdaniem logicznym
(lub
zdaniem
) nazywamy stwierdzenie,
które jest albo prawdziwe, albo fałszywe. Je»eli zdanie jest
prawdziwe to przypisujemy mu
warto±¢ logiczn¡
1, je»eli
jest fałszywe to ma warto±¢ logiczn¡ 0.
Uwagi:
1. Warto±ci logiczne0
;
1to kwestia umowy, istotne jest to, »e s¡ tylko
dwie. Z tego powodu omawian¡ logik¦ nazywa si¦ czasem
dwu-
warto±ciow¡
.
2. Zdania b¦dziemy oznacza¢ symbolami literowymi, np.
p;q;r;s;:::
.
Przykłady:
1.
“ Dzisiejsz¡ dat¡ jest 08 marca 2005 roku.”
jest zdaniem logicz-
nym.
2.
“ Liczba¼jest liczb¡ wymiern¡.”
jest zdaniem logicznym (fałszy-
wym).
3.
“¼jest liter¡ alfabetu greckiego.”
jest zdaniem logicznym (praw-
dziwym).
4
4.
“Czy jutro jest ±roda?”
nie jest zdaniem logicznym.
Operacj¡ logiczn¡
(lub
funktorem zdaniotwórczym
) na-
zywamy operacj¦ dzi¦ki której ze zda« logicznych budujemy
nowe zdania logiczne.
Przegl¡d definicji podstawowych operacji logicznych rozpoczniemy od
operacji, której argumentem jest tylko jedno zdanie.
Definicja 1.1 Negacja
Niechpb¦dzie zdaniem.
Negacj¡
zdaniapnazywamy zadnie»p,
którego warto±¢ logiczn¡ definiujemy nast¦puj¡co :
– je»elipma warto±¢ logiczn¡ 1, to»pma warto±¢ logiczn¡ 0;
– je»elipma warto±¢ logiczn¡ 0, to»pma warto±¢ logiczn¡ 1.
Uwagi:
1. Zauwa»my, »e dzi¦ki podanym w Def.1.1. regułom przyporz¡dko-
wywania warto±ci logicznych, zdanie
»p
mo»e dobrze okre±lon¡
warto±¢ logiczn¡ tzn. jest albo prawdziwe albo fałszywe, a wi¦c jest
zdaniem logicznym. Zdanie
»p
oznacza “nieprawda, »e
p
” lub po
prostu “nie
p
”.
2. Negacja przekształcaj¡ca zdanie
p
w zdanie
»p
jest, wi¦c operacj¡
logiczn¡.
3. Reguł¦ według której przyporz¡dkowujemy zdaniu
»p
warto±ci
logiczne wygodnie jest poda¢ przy pomocy tabeli warto±ci:
p»p
1 0
0 1
Zajmiemy si¦ teraz operacjami logicznymi, które z dwóch zda« tworz¡
trzecie. Zdefiniujemy je przy pomocy tabelek warto±ci logicznych.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]