Jeszcze o ekstermach, School, Matma, Wykłady UW
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRZYKLADY
1.
NIECH
F
(
X;Y
) =
X
2
Y
5
(8
X
Y
) . ZNAJDZIEMY WSZYSTKIE PUNKTY, W KTORYCH GRADIENT FUNKCJI
F
JEST
WEKTOREM ZEROWYM, TJ. PUNKTY KRYTYCZNE TEJ FUNKCJI. NASTE
PNIE WYJASNIMY, W KTORYCH Z NICH FUNKCJA
MA LOKALNE EKSTREMA I JAKIEGO TYPU. MAMY 0 =
@F
@X
= 2
XY
5
(8
X
Y
)
X
2
Y
5
= 16
XY
5
3
X
2
Y
5
2
XY
6
,
@Y
= 5
X
2
Y
4
(8
X
Y
)
X
2
Y
5
= 40
X
2
Y
4
5
X
3
Y
4
6
X
2
Y
5
. WYNIKA STA
D OD RAZU, ZE JESLI
X
= 0
LUB
Y
= 0 , TO GRAD
F
(
X;Y
) =
!
(0
;
0) . ZALOZMY TERAZ, ZE
X
6
= 0 I JEDNOCZESNIE
Y
6
= 0 . WTEDY
XY
6
= 0 ,
ZATEM PODZIELIWSZY ROWNANIA PRZEZ ODPOWIEDNIE WYRAZENIA OTRZYMUJEMY 2(8
X
Y
)
X
= 0 I
5(8
X
Y
)
Y
= 0 . WYNIKA STA
D OD RAZU, ZE 5
X
= 10(8
X
Y
) = 2
Y
, ZATEM 16
2
X
5
X
X
= 0 ,
ZATEM
X
= 2 I WOBEC TEGO
Y
= 5 .
ZAJMIEMY SIE
DRUGA
ROZNICZKA
W PUNKTACH KRYTYCZNYCH FUNKCJI
F
. MAMY
D
2
F
(
X;Y
) =
16
Y
5
6
XY
5
2
Y
6
80
XY
4
15
X
2
Y
4
12
XY
5
80
XY
4
15
X
2
Y
4
12
XY
5
160
X
2
Y
3
20
X
3
Y
3
30
X
2
Y
4
:
MAMY TERAZ
D
2
F
(
X;
0) =
0 0
0 0
I NIC Z TEGO NIE WYNIKA, MACIERZ TA JEST ZEROWA, WOBEC TEGO
MOZLIWE SA
WSZYSTKIE TRZY SYTUACJE: LOKALNE MAKSIMUM, LOKALNE MINIMUM I WRESZCIE BRAK LOKAL-
NEGO EKSTREMUM W TYM PUNKCIE. NALEZY WYJASNIC SYTUACJE
ZA POMOCA
INNYCH METOD. ZACHODZI
ROWNIEZ WZOR
D
2
F
(0
;Y
) =
16
Y
5
2
Y
6
0
0
0
. Z TEGO TEZ NIC NIE WYNIKA, BO MACIERZ BO MACIERZ
MA ZEROWY WYZNACZNIK. ROWNIEZ W TYM PRZYPADKU NIE ZADZIALALO TWIERDZENIE OGOLNE, CO ZMU-
SZA NAS DO USTALENIA ZA POMOCA
INNEJ METODY CHARAKTERU TEGO PUNKTU KRYTYCZNEGO. MAMY TERAZ
D
2
F
(2
;
5) =
18750
12500
12500
15000
, ZATEM
D
2
F
(2
;
5) =
18750 12500
12500 15000
. OSTATNIA MACIERZ JEST DO-
DATNIO OKRESLONA, BO 18750
>
0 I 18750
15000
12500
2
>
0 . WOBEC TEGO MACIERZ
D
2
F
(2
;
5) JEST
UJEMNIE OKRESLONA I WOBEC TEGO W PUNKCIE (2
;
5) FUNKCJA
F
MA LOKALNE MAKSIMUM WLASCIWE.
MOZNA PROBLEM PRZEANALIZOWAC NIECO INACZEJ. FUNKCJA
F
PRZYJMUJE WARTOSC 0 W KAZDYM Z PUNKTOW
POSTACI (0
;Y
) I (
X;
0) . W PUNKTACH KAZDEGO ZE ZBIOROW
F
(
X;Y
):
X >
0
;Y >
0
;X
+
Y >
8
G
,
F
(
X;Y
):
X <
0
;Y >
0
;X
+
Y >
8
G
,
F
(
X;Y
):
X >
0
;Y <
0
;X
+
Y <
8
G
WARTOSCI FUNKCJI
F
SA
UJEMNE, NATOMIAST W PUNKTACH KAZDEGO ZE ZBIOROW
F
(
X;Y
):
X >
0
;Y <
0
;X
+
Y >
8
G
,
F
(
X;Y
):
X >
0
;Y >
0
;X
+
Y <
8
G
,
F
(
X;Y
):
X <
0
;Y >
0
;X
+
Y <
8
G
WARTOSCI FUNKCJI
F
SA
DODATNIE. WYNIKA STA
D, ZE W PUNKTACH LEZA
CYCH NA OSI
OX
I W PUNKCIE (0
;
8) FUNKCJA NIE MA LO-
KALNYCH EKSTREMOW, BOWIEM DOWOLNIE BLISKO KAZDEGO Z NICH ZNAJDUJA
SIE
PUNKTY, W KTORYCH WARTOSCI
FUNKCJI SA
DODATNIE ORAZ PUNKTY, W KTORYCH WARTOSCI FUNKCJI SA
UJEMNE. NATOMIAST W PUNKTACH PO-
STACI (0
;Y
) ,
Y <
0 FUNKCJA MA LOKALNE MAKSIMA NIEWLASCIWE: W MALYM OTOCZENIU KAZDEGO Z NICH
WARTOSCI FUNKCJI SA
NIEDODATNIE A W PUNKCIE (0
;Y
) WARTOSCIA
JEST LICZBA 0 . WOBEC TEGO 0 =
F
(0
;Y
)
JEST DLA
Y <
0 LOKALNIE NAJMNIEJSZA
WARTOSCIA
FUNKCJI
F
, ALE DOWOLNIE BLISKO TEGO PUNKTU SA
INNE
PUNKTY, W KTORYCH WARTOSC FUNKCJI JEST ROWNA 0 . TAKA SAMA SYTUACJA JEST W PUNKTACH POSTACI (0
;Y
) ,
Y>
8 . W PUNKTACH POSTACI (0
;Y
) , 0
<Y<
8 JEST PODOBNIE, ALE W TYCH PUNKTACH FUNKCJA MA LOKALNE
MINIMA NIEWLASCIWE. NALEZY NARYSOWAC NA KARTCE PAPIERU UKLAD WSPOLRZE
DNYCH Z PROSTA
X
+
Y
= 8
I ZAZNACZYC OBSZARY, W KTORYCH FUNKCJA JEST DODATNIA ORAZ OBSZARY, W KTORYCH | JEST UJEMNA, TO NA
PEWNO ULATWI ZROZUMIENIU PRZECZYTANEGO TEKSTU.
2.
NIECH
F
(
X;Y
) = 6
Y
5
+ 15
Y
4
50
Y
3
90
Y
2
+
1
4
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
2
,
G
(
X;Y
) = 6
Y
5
+ 15
Y
4
50
Y
3
90
Y
2
+
1
4
E
2
X
+
Y
2
(
Y
+ 3)
2
2
,
1046
0 =
@F
H
(
X;Y
) = 6
Y
5
+ 15
Y
4
50
Y
3
90
Y
2
+
1
4
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
2
.
ZNAJDZIEMY LOKALNE EKSTREMA WSZYSTKICH TRZECH FUNKCJI. NAJPIERW ZAUWAZMY, ZE
WSZYSTKIE TRZY SA
NIEOGRANICZONE ZAROWNO Z DOLU JAK I Z GORY.
WYNIKA TO Z NIEOGRANICZONOSCI Z OBU STRON WIELOMIANU 6
Y
5
+ 15
Y
4
50
Y
3
90
Y
2
ZMIENNEJ
Y
. W
KAZDYM Z TRZECH PRZYPADKOW MOZNA TAK DOBRAC LICZBE
X
DO LICZBY
Y
2F
3
;
1
;
0
;
2
G
, BY WYRAZENIE
W NAWIASIE KWADRATOWYM BYLO ROWNE 0 : PRZYJMUJEMY
X
=
1
2
LN
(
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
W PRZYPADKU
FUNKCJI
F
, W PRZYPADKU FUNKCJI
G
PRZYJMUJEMY
X
=
1
2
LN
Y
2
(
Y
+ 3)
2
, A W PRZYPADKU FUNKCJI
H
POSLUZYMY SIE
WZOREM
X
=
1
2
LN
(
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
.
ZNAJDZIEMY TERAZ PUNKTY KRYTYCZNE (CZYLI ZEROWANIA SIE
GRADIENTU) FUNKCJI
F
. MAMY
@F
@X
(
X;Y
) =
E
2
X
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
ORAZ
@F
@Y
(
X;Y
) = 30
Y
(
Y
+ 3)(
Y
+ 1)(
Y
2) + (
Y
+ 1)(
Y
2)(2
Y
1)
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
.
@Y
,
POZWALA STWIERDZIC, ZE
Y
=
3 ,
Y
=
1 ,
Y
= 0 LUB
Y
= 2 . Z KAZDEJ Z ROWNOSCI
Y
=
1 ,
Y
= 2
I Z ROWNOSCI 0 =
@F
@X
= 0 WYNIKA, ZE
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
= 0 , CO W POLA
CZENIU Z ROWNANIEM 0 =
@F
@X
WYNIKA, ZE
E
2
X
= 0 , CO JEDNAK NIE ZACHODZI DLA ZADNEJ LICZBY RZECZYWISTEJ
X
.
Z ROWNOSCI
Y
= 0 WYNIKA, ZE
X
=
1
2
LN 4 = LN 2 . JESLI
Y
=
3 , TO
X
=
1
2
LN 100 = LN 10 . MAMY WIE
C
DWA PUNKTY PODEJRZANE O TO, ZE FUNKCJA
F
MOZE MIEC W KTORYMS Z NICH LOKALNE EKSTREMUM (LN 2
;
0)
I (LN 10
;
3) . ZAJMIEMY SIE
PIERWSZYM Z NICH. MAMY
@
2
F
2
E
2
X
(
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
, ZATEM
@
2
F
@X
2
(LN 2
;
0) = 32 ,
@X@Y
(
X;Y
) =
2
E
2
X
(
Y
+ 1)(
Y
2)(2
Y
1) , ZATEM
@
2
F
@X@Y
(LN 2
;
0) =
16 ,
@Y
2
(
X;Y
) = 60(2
Y
3
+3
Y
2
5
Y
3)+2(
Y
+1)
2
(
Y
2)
2
(2
Y
1)
2
+
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
(6
Y
2
6
Y
3) ,
ZATEM
@
2
F
@Y
2
(LN 2
;
0) =
172 . MAMY WIE
C
D
2
F
(LN 2
;
0) =
32
16
16
172
. TA MACIERZ NIE JEST ANI
@X
2
(LN 2
;
0) = 32 , WIE
C FUNKCJA
F
(
X;
0) ZMIENNEJ
X
MA W PUNKCIE LN 2 LOKALNE
MINIMUM WLASCIWE, A Z TEGO WYNIKA, ZE FUNKCJA
F
NIE MA W PUNKCIE (LN 2
;
0) LOKALNEGO MAKSIMUM.
PONIEWAZ
@F
@Y
2
(LN 2
;
0) =
172 , WIE
C FUNKCJA
F
(LN 2
;Y
) ZMIENNEJ
Y
MA W PUNKCIE
(LN 2
;
0) LOKALNE MAKSIMUM WLASCIWE, WIE
C FUNKCJA
F
NIE MA W PUNKCIE (LN 2
;
0) LOKALNEGO MINIMUM.
OZNACZA TO, ZE FUNKCJA
F
MA W PUNKCIE (LN 2
;
0) SIODLO.
@Y
(LN 2
;
0) = 0 I
@
2
F
MOGLISMY OSTATNI FRAGMENT ROZUMOWANIA NIECO SKROCIC POWOLUJA
C SIE
NA TWIERDZENIE O LOKALNYCH
EKSTREMACH FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.
ANALOGICZNE OBLICZENIA DOWODZA
, ZE
D
2
F
(LN 10
;
3) =
20000 14000
14000 8900
I WOBEC TEGO
= 2000
8900
14000
2
= 2
10
6
(89
7
14)
<
0 , ZATEM ROWNIEZ W TYM
PUNKCIE FUNKCJA MA SIODLO | Z TEGO, ZE WYZNACZNIK MACIERZY
D
2
F
(LN 10
;
3) JEST UJEMNY WYNIKA,
D
2
F
(LN 10
;
3)
ZE MA ONA DWIE WARTOSCI WLASNE ROZNYCH ZNAKOW, NA PROSTEJ PRZECHODZA
CEJ PRZEZ PUNKT (LN 10
;
3)
ROWNOLEGLEJ DO WEKTORA WLASNEGO ODPOWIADAJA
CEGO WARTOSCI WLASNEJ DODATNIEJ FUNKCJA MA LOKALNE
MINIMUM WLASCIWE, A NA PROSTEJ ROWNOLEGLEJ DO WEKTORA WLASNEGO ODPOWIADAJA
CEGO UJEMNEJ WARTOSCI
WLASNEJ MA ONA LOKALNE MAKSIMUM WLASCIWE. ZNALEZLISMY LOKALNE EKSTREMA FUNKCJI
F
: NIE MA ONA
ZADNEGO LOKALNEGO EKSTREMUM, MA NATOMIAST DWA SIODLA.
ZAJMIEMY SIE
TERAZ FUNKCJA
G
. TERAZ MAMY
@G
@X
(
X;Y
) =
E
2
X
E
2
X
+
Y
2
(
Y
+ 3)
2
ORAZ
@G
@Y
(
X;Y
) = 30
Y
(
Y
+ 3)(
Y
+ 1)(
Y
2) +
Y
(
Y
+ 3)(2
Y
+ 3)
E
2
X
+
Y
2
(
Y
+ 3)
2
.
JEDYNYMI PUNKTAMI KRYTYCZNYMI FUNKCJI
G
SA
(LN 2
;
1) I (LN 10
;
2) . OBLICZAMY POCHODNE CZA
STKOWE
1047
Z ROWNANIA
@F
@X
2
(
X;Y
) = 2
E
2
X
@
2
F
@
2
F
@X
(LN 2
;
0) = 0 I
@
2
F
DODATNIO ANI UJEMNIE OKRESLONA (BO JEJ WYMIAR JEST PARZYSTY, A WYZNACZNIK JEST UJEMNY). PONIEWAZ
@F
DET
DRUGIEGO RZE
DU FUNKCJI
G
@
2
G
2
E
2
X
Y
2
(
Y
+ 3)
2
,
@X@Y
(
X;Y
) =
2
Y
(
Y
+ 3)(2
Y
+ 3)
E
2
X
,
@
2
G
@Y
2
(
X;Y
) = 60(2
Y
3
+ 3
Y
2
5
Y
3) + 2
Y
2
(
Y
+ 3)
2
(2
Y
+ 3)
2
+ 2
E
2
X
+
Y
2
(
Y
+ 3)
2
6
Y
2
+ 18
Y
+ 9
.
. OBLICZAJA
C WYZNACZNIK TEJ MACIERZY STWIERDZAMY Z LA-
TWOSCIA
, ZE JEST ON ROWNY 32
188
16
2
, ZATEM JEST DODATNI. PONIEWAZ 32
>
0 , WIE
C FUNKCJA
G
MA
W PUNKCIE (LN 2
;
1) LOKALNE MINIMUM WLASCIWE. MAMY TEZ
D
2
G
(LN 10
;
2) =
32 16
16 188
20000
14000
14000
10700
.
ROWNIEZ W TYM PRZYPADKU MAMY 20000
>
0 I 20000
10700
14000
2
>
0 , ZATEM ROWNIEZ W
TYM PUNKCIE FUNKCJA MA LOKALNE MINIMUM WLASCIWE. WOBEC TEGO FUNKCJA
G
MA DWA LOKALNE MINIMA
WLASCIWE I ZADNEGO PUNKTU KRYTYCZNEGO POZA NIMI!
KOLEJ NA FUNKCJE
H
. MAMY
@H
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
ORAZ
@Y
(
X;Y
) = 30
Y
(
Y
+ 3)(
Y
+ 1)(
Y
2) + 2(
Y
+ 1)(
Y
+ 2)(
Y
+ 3)
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
.
JEDYNYMI PUNKTAMI KRYTYCZNYMI FUNKCJI
H
SA
(LN 15
;
2) I (LN 3
;
0) . OBLICZAMY JEJ POCHODNE CZA
ST-
KOWE DRUGIEGO RZE
DU:
@
2
H
2
E
2
X
(
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
,
@X@Y
(
X;Y
) =
2(
Y
+ 1)(
Y
+ 3)(2
Y
+ 4)
E
2
X
,
@
2
H
@Y
2
(
X;Y
) = 60(2
Y
3
+ 3
Y
2
5
Y
3) + 2(
Y
+ 1)
2
(2
Y
+ 4)
2
(
Y
+ 3)
2
+
+ 2
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
+ 3)
2
6
Y
2
+ 24
Y
+ 22
. OBLICZAJA
C WYZNACZNIK TEJ MACIERZY STWIER-
DZAMY Z LATWOSCIA
, ZE JEST ON ROWNY 101250
29700
54000
2
, WIE
C DODATNI. PONIEWAZ 101250
>
0 ,
WIE
C FUNKCJA
H
MA W PUNKCIE (LN 2
;
1) LOKALNE MINIMUM WLASCIWE. MAMY TEZ
D
2
H
(LN 3
;
0) =
=
101250
54000
54000
29700
. WYZNACZNIK TEJ MACIERZY JEST UJEMNY, WIE
C MA ONA DWIE WARTOSCI WLASNE ROZNYCH
ZNAKOW, ZATEM W TYM PUNKCIE FUNKCJA
H
MA SIODLO.
162
216
216 108
WIDZIMY WIE
C, ZE TE TRZY FUNKCJE ZDENIOWANE ZA POMOCA
PODOBNYCH WZOROW MAJA
ROZNE
WLASNOSCI. PRZYKLAD POWINIEN OSTRZEC STUDENTOW PRZED ZBYT POSPIESZNYM WYCIA
GANIEM WNIOSKOW:
NIE WSZYSTKO WYGLA
DA TAK, JAK NAM SIE
W PIERWSZEJ CHWILI WYDAJE.
TERAZ OBEJRZYMY TE TRZY FUNKCJE RAZ JESZCZE, ALE NIE BE
DZIEMY UZYWAC TWIERDZENIA O EKSTREMACH
LOKALNYCH. ZACZNIEMY OD ZBADANIA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
'
(
Y
) = 6
Y
5
+ 15
Y
4
50
Y
3
90
Y
2
. MAMY
'
0
(
Y
) = 30
Y
(
Y
+ 1)(
Y
2)(
Y
+ 3) . JASNE JEST, ZE JESLI
Y
2
(2
;
1
)
[
(
1
;
0)
[
(
1
;
3) , TO
'
0
(
Y
)
>
0 ,
ZAS JESLI
Y
2
(0
;
2)
[
(
3
;
1) , TO
'
0
(
Y
)
<
0 . WYNIKA STA
D, ZE W PUNKTACH
3 I 0 FUNKCJA
'
MA
LOKALNE MAKSIMA WLASCIWE, A W PUNKTACH
1 I 2 | LOKALNE MINIMA WLASCIWE. NIECH (
X;Y
) =
'
(
Y
) .
JASNE JEST, ZE FUNKCJA MA W PUNKTACH POSTACI (
X;
3) LOKALNE MAKSIMA; SA
ONE
NIEWLASCIWE
, BO
WARTOSC NIE ZALEZY OD
X
, WIE
C JEST TAKA SAMA NA CALEJ PROSTEJ O ROWNANIU
Y
=
3 . TO SAMO DOTYCZY
PUNKTOW POSTACI (
X;
0) . ROWNIEZ PUNKTOW POSTACI (
X;
1) I (
X;
2) Z TYM, ZE W TYCH PUNKTACH
MA LOKALNE MINIMA. FUNKCJA MA WIE
C LOKALNE MAKSIMA (NIEWLASCIWE) W PUNKTACH KRYTYCZNYCH
FUNKCJI
F
: W (LN 2
;
0) I W (LN 10
;
3) . NIECH (
X;Y
) =
1
4
E
2
X
+ (
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
FUNKCJA W PUNKTACH (LN 2
;
0) I (LN 10
;
3) PRZYJMUJE SWA
NAJMNIEJSZA
WARTOSC, MA WIE
C W TYCH
PUNKTACH MINIMA LOKALNE, MOZNA BEZ TRUDU PRZEKONAC SIE
O TYM, ZE NIE SA
ONE WLASCIWE, ALE DOWOLNIE
1048
@X
2
(
X;Y
) = 2
E
2
X
@
2
G
OTRZYMUJEMY
D
2
G
(LN 2
;
1) =
@X
(
X;Y
) =
E
2
X
@H
@X
2
(
X;Y
) = 2
E
2
X
@
2
H
OTRZYMUJEMY
D
2
H
(LN 15
;
2) =
2
. OCZYWISCIE
(
X;Y
)
0 DLA KAZDEGO PUNKTU (
X;Y
)
2
2
. MAMY TEZ (LN 2
;
0) = 0 = (LN 10
;
3) . WOBEC TEGO
BLISKO KAZDEGO Z NICH SA
PUNKTY, W KTORYCH WARTOSC FUNKCJI JEST DODATNIA. PRZYJRZYJMY SIE
TERAZ
FUNKCJI
F
= + . DLA
Y
6
=
1 I
Y
6
= 2 ZACHODZI ROWNOSC
F
2
LN
(
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
]
;Y
=
2
LN
(
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
]
;Y
+
2
LN
(
Y
+ 1)
2
(
Y
2)
2
]
;Y
=
'
(
Y
) .
WYNIKA Z NIEJ, ZE W PUNKTACH (LN 2
;
0) I (LN 10
;
3) FUNKCJA
F
NIE MA WARTOSCI LOKALNIE NAJWIE
KSZEJ:
NIEZNACZNA ZMIANA DRUGIEJ WSPOLRZE
DNEJ Z WARTOSCI 0 ORAZ Z WARTOSCI
3 POWODUJE ZMNIEJSZENIE
SIE
'
(
Y
) . W TYCH PUNKTACH FUNKCJA
F
NIE MA TEZ WARTOSCI LOKALNIE NAJMNIEJSZEJ: MALA ZMIANA
X
Z
WARTOSCI LN 2 LUB Z WARTOSCI LN 10 POWODUJE WZROST (
X;
0) ODPOWIEDNIO (
X;
3) , WIE
C ROWNIEZ
F
(
X;
0) , ODPOWIEDNIO
F
(
X;
3) , BO NIE ZALEZY OD
X
! WYKAZALISMY NIE INTERESUJA
C SIE
MACIERZA
DRUGIEJ ROZNICZKI FUNKCJI
F
W OGOLE, ZE W PUNKTACH (LN 2
;
0) I (LN 10
;
3) FUNKCJA
F
NIE MA LOKALNYCH
EKSTREMOW.
W TAKI SAM SPOSOB MOZEMY POTRAKTOWAC FUNKCJE
G
JAKO SUME
DWU FUNKCJI. W TYM PRZYPADKU
SYTUACJA JEST NIECO INNA. OBA SKLADNIKI MAJA
W PUNKTACH KRYTYCZNYCH FUNKCJI
G
LOKALNE MINIMA
(NIEWLASCIWE, JESLI OBA SKLADNIKI TRAKTUJEMY JAKO FUNKCJE DWU ZMIENNYCH). WOBEC TEGO ICH SUMA,
CZYLI FUNKCJA
F
, TEZ MA LOKALNE MINIMUM W PUNKTACH (LN 2
;
1) I (LN 10
;
2) . W PRZYPADKU FUNKCJI
F
SA
TO JEDNAK MINIMA WLASCIWE, BO TYLKO W PUNKTACH KRYTYCZNYCH MOZE MIEC ONA LOKALNIE NAJMNIEJSZA
WARTOSC.
ANALOGICZNA
ANALIZE
FUNKCJI
H
POZOSTAWIAM PANIOM STUDENTKOM I PANOM STUDENTOM W CHA-
RAKTERZE PROSTEGO JUZ CWICZENIA.
3.
NIECH
F
(
X;Y
) = (
X
Y
2
)(
X
3
Y
2
) . MAMY
@F
@X
= (
X
Y
2
)+(
X
3
Y
2
) = 2(
X
2
Y
2
) I
@F
@Y
=
6
Y
(
X
@X
,
TO W PIERWSZYM PRZYPADKU OTRZYMUJEMY
X
= 0 , A W DRUGIM 3
Y
2
= 2
X
= 4
Y
2
, WIE
C
Y
= 0 . WYNIKA
STA
D, ZE JEDYNYM PUNKTEM, W KTORYM OBYDWIE POCHODNE CZA
STKOWE SA
ROWNE 0 JEST PUNKT (0
;
0) .
BEZ TRUDU SPRAWDZAMY, ZE
D
2
F
(0
;
0) =
@Y
, TO
Y
= 0 LUB 3
X
= 3
Y
2
. JESLI DODATKOWO 0 =
@F
. TA MACIERZ MA JEDNA
WARTOSC WLASNA
DODATNIA
( 2 ), A DRUGA ROWNA JEST 0 . WOBEC TEGO NA PROSTEJ PRZECHODZA
CEJ PRZEZ PUNKT (0
;
0) ROWNOLEGLEJ DO
WEKTORA WLASNEGO ODPOWIADAJA
CEGO WARTOSCI WLASNEJ 2 , CZYLI NA OSI
OX
, TA FUNKCJA MA MINIMUM
WLASCIWE. WIDAC TO ZRESZTA
BEZ ZADNYCH TEORII
F
(0
;
0)
<F
(
X;
0) =
X
2
DLA KAZDEJ LICZBY RZECZYWISTEJ
X
6
= 0 . TWIERDZENIA OGOLNE NIC WIE
CEJ NIE POZWALAJA
STWIERDZIC. MAMY TEZ
F
(0
;
0)
<F
(0
;Y
) = 3
Y
4
DLA KAZDEGO
Y
2
NF
0
G
, ZATEM ROWNIEZ NA OSI
OY
FUNKCJA TA MA LOKALNE MINIMUM WLASCIWE. NIECH
A
6
= 0
6
=
X
. WTEDY
F
(
X;AX
) = (
X
A
2
X
2
)(
X
3
A
2
X
2
) =
X
2
(1
A
2
X
)(1
3
A
2
X
)
>
0 =
F
(0
;
0) ,
JESLI
X>
A
2
2 0
0 0
3
A
2
. OZNACZA TO, ZE WARTOSC W PUNKCIE (0
;
0) JEST NAJMNIEJSZA
ZE WSZYSTKICH
PRZYJMOWANYCH NA POLPROSTEJ ZDENIOWANEJ ROWNOSCIA
Y
=
AX
I NIEROWNOSCIA
X <
1
LUB
X<
1
3
A
2
. OKAZALO
SIE
, ZE W PUNKCIE (0
;
0) FUNKCJA
F
MA LOKALNE MINIMUM WLASCIWE JESLI OGRANICZYMY JEJ DZIEDZINE
DO
DOWOLNEJ PROSTEJ PRZECHODZA
CEJ PRZEZ PUNKT (0
;
0) . NIE MA ONA JEDNAK LOKALNEGO MINIMUM W TYM
PUNKCIE, BOWIEM
F
(2
Y
2
;Y
) = (2
Y
2
Y
2
)(2
Y
2
3
Y
2
) =
Y
4
<
0 DLA KAZDEGO
Y
2
NF
0
G
, ZATEM NA
PARABOLI
X
= 2
Y
2
TA FUNKCJA MA LOKALNE MAKSIMUM WLASCIWE. MAMY WIE
C DO CZYNIENIA Z SIODLEM, ALE
NIEWYKRYWALNYM ZA POMOCA
DRUGIEJ ROZNICZKI FUNKCJI W PUNKCIE (0
;
0) . TO JESZCZE JEDNO OSTRZEZENIE
PRZED ZBYT SZYBKIM WYCIA
GANIEM WNIOSKOW Z FRAGMENTARYCZNYCH OBLICZEN LUB ROZUMOWAN.
1049
1
1
1
Y
2
)
2
Y
(
X
3
Y
2
) = 4
Y
(3
Y
2
2
X
) . JESLI 0 =
@F
[ Pobierz całość w formacie PDF ]